学帮网相似三角形超难题△PQR和△P′Q′R′,是两个全等的等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF,设这个六边形的边长为AB=a1,BC=b1,CD=a2,DE=b2,EF=a3,FA=b3．求证：a1+a2+a3=b1+b2+b3
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/06/01 11:11:19
相似三角形超难题
△PQR和△P′Q′R′,是两个全等的等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF,设这个六边形的边长为AB=a1,BC=b1,CD=a2,DE=b2,EF=a3,FA=b3．求证：a1+a2+a3=b1+b2+b3
全等三角形面积相同，所以2组小三角形的面积相等（2组，一组三个，每一组三角形都属于一个大三角形），每一个三角形都相似，高与底边成正比，a1²+a2²+a3²=b1²+b2²+b3²，但是a1+a2+a3=b1+b2+b3我证不出来，题目错了？
我做过一道类似的题，可是他们的关系是平方和的关系。你看看你的题是不是错了
△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3．求证：。
a12+a2 2+a3 2=b1 2+b2 2+b3 2．
∵△PQR和△P′Q′R′是等边三角形，...
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我做过一道类似的题，可是他们的关系是平方和的关系。你看看你的题是不是错了
△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3．求证：。
a12+a2 2+a3 2=b1 2+b2 2+b3 2．
∵△PQR和△P′Q′R′是等边三角形，
∴∠P=∠Q=∠R=∠P′=∠Q′=∠R′=60°，
又∵∠ABP′=∠CBQ，∠BCQ=∠DCQ′，∠Q′DC=∠EDR，
∠DER=∠FER′，∠EFR′=∠AFP，∠FAP=∠BAP′，
∴△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，
∴△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，
它们的面积比是相似比的平方，设比例系数为k，
则S△AP′B=AB2k=a1 2•k，S△CQB=CB2•k=b1 2•k，
S△CQ′D=CD2•k=a2 2•k，S△ERD=ED2•k=b2 2•k，
S△ER′F=EF2•k=a3 2•k，S△APF=FA2•k=b3 2•k，
由于两正三角形重叠部分应有相等面积，
故（a1 2+a2 2+a3 2）k=（b1 2+b2 2+b3 2）k，
即a12+a22+a32=b12+b22+b32．
注；2为平方
收起
两个全等正三角形，其中一个旋转θ角后，再平移（△x，△y）相叠。 我用解析几何计算结果是：a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3。 在Excel表中，通过改变边长、θ角、△x和△y，结果不变。 见图表。 补充用几何方式证明： 等边△A与△B全等，边长＝L，相叠而顶点不重叠。则： △A的三条边被分割成三个线段，Aij（i＝1，2，3；j＝1，2，）。 △B的三条边被分割成三个线段，Bij（i＝1，2，3；j＝1，2，）。 分成六个小三角形和一个六边形。 由于小三角形的顶角＝60°，另两个角分别对应相等，所以六个小三角形相似。列式： A12／B12＝B11／A13；A12／B32＝B33／A11； A22／B22＝B21／A23；A22／B12＝B13／A21； A32／B32＝B31／A33；A32／B22＝B23／A31。 将上述六个比例等式变换成乘法关系等式如： A12＊A13＝B12＊B11 ；… 将六个等式的左、右分别相加，且合并同类项： A12＊（A11＋A13）＋…＝B12＊（B11＋B13）＋… 用L－A12＝A11＋A13、…、L－B12＝B11＋B13、…代入上式 展开成L＊A12－（A12）＾2＋…＝L＊B12－（B12）＾2＋… 用Ai2＝ai；Bi2＝bi代入上式 因为：（a1）＾2＋（a2）＾2＋（a3）＾2＝（b1）＾2＋（b2）＾2＋（b3）＾2（前面网友已证明） 所以：a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3