关于log的公式的证明请问下为什么a^log(b,n)=n^log(b,a)?怎么证明?(我这里用log(b,n)表示log以b为底n的对数)

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/03 20:34:08

关于log的公式的证明
请问下为什么a^log(b,n)=n^log(b,a)?怎么证明?
(我这里用log(b,n)表示log以b为底n的对数)

设log(b, n)=t,则b^t(b的t次方)=n
log(b, a)=m,则b^m=a
等式左边=a^log(b, n)=a^t
右边=n^log(b, a)=n^m=(b^t)^m(因为b^t=n)=(b^m)^t=a^t(因为b^m=a)
左边=右边
所以等式成立.

错误的公式
将a=2,b=4,n=8代入就知

因为:
log(a,n)=log(a,n)
左边用换底公式:
所以[log(b,n)/log(b,a)]=log(a,n)
所以log(b,n)=[log(a,n)]*[log(b,a)]
=log(a,n^[log(b,a)])
所以a^log(b,n)=n^log(b,a)
得证!
P.S:看起来似乎有点乱,但是把它写在纸上看看就好了!

两边取对数,只要证ln[a^log(b,n)]=ln[n^log(b,a)]
即证:log(b,n)lna=log(b,a)lnn
用换底公式即证:(lnn/lnb)lna=(lna/lnb)lnn
而这个等式恒成立,得证!

设X=a^log(b, n) Y=n^log(b, a)
所以log(a,x)=log(b,n) log(n,y)=log(b,a)
化为分式lgx/lga=lgn/lgb lgy/lgn=lga/lgb
化为lgx/lgn=lga/lgb lgy/lgn=lga/lgb
比较两式得
lgx=lgy
即x=y
所以a^log(b, n)=n^log(b, a)

因为指数和对数互为逆运算 a^log(b,a)=b 这点理解吧
log(b,n)=lgn/lgb=log(b,a)/log(n,a)
然后原式=[a^log(n,a)]^log(b,a)=n^log(b,a)

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