已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/15 10:11:12
已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
因为n为整数,且n>1,所以当 m 为整数,且 m < n 时,
有 根号m < 根号n ,即 1/根号m > 1/根号n,因此:
1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n > 1/根号n + 1/根号n + 1/根号n +...+ 1/根号n = n*1/根号n = 根号n
先证不等式--根号k大于k/根号k+1(k大于0),只要平方移项即可证明
回到原式,应用上面不等式,则1大于1/根号2,加上1/根号2为根号2,根号2大于2/根号3,加上1/根号3为根号3...以此类推即得证。
∵1/√n=2/2√n
﹥2/(√n+√n+1)
=2(√n+1-√n)
∴原式﹥2(√2-√1+√3-√2+……+√n+1-√n)
=2(√n+1-1)﹥√n
sqrt(1)=1
sqrt(k)-sqrt(k-1)<=1/sqrt(k),
k从2取到n,
累加即得
前面的式子大于等于1/根号n+1/根号n+1/根号n+... ...+1/根号n(一共n个)=(1+...+1)/根号n=n/根号n=根号N 当且仅当N=1时等号成立 所以原题得证
∵1/√n>2/[√n+√(n+1)]=2[√(n+1)-√n)
∴左边>2(√2-√1)+2(√3-√2)+....+2[√(n+1)-√n]
=2[√(n+1)-1]
=2n/[√(n+1)+1]
>2n/(√n+√n) [n>2时 2√n>√(n+1)+1]
=√n
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