用数学归纳法证明 n(n^2-1)能被3整除

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/08 07:42:06

证明：n=1时明显成立
假设n=k时也成立
n=k+1时,有
(k+1)((k+1)^2-1)=(k+1)(k^2+2k)
=k(k^2-1)+3k^4+3k
由假设,k(k^2-1)能整除3,
同时,3k^4+3k也能整除3,
(k+1)((k+1)^2-1)能整除3,即n=k+1时也成立
由归纳法可知,该命题成立

若3整除n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)
n(n+2)(n+1）=n(n-1)(n+1)+3n(n+1）
故3能整除n(n+2)(n+1）

第一步,n=1时，n(n^2-1)=0，能被3整除。
第二步，假设n=k（k属于正整数）时，k(k^2-1)能被3整除，
则，n=k+1时，
n(n^2-1)=(k+1)((k+1)^2-1)
=(k+1)(k^2+2k+1-1)
=k(k^2+2k+1-1)+(k^2+2k+1-1)
...

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第一步,n=1时，n(n^2-1)=0，能被3整除。
第二步，假设n=k（k属于正整数）时，k(k^2-1)能被3整除，
则，n=k+1时，
n(n^2-1)=(k+1)((k+1)^2-1)
=(k+1)(k^2+2k+1-1)
=k(k^2+2k+1-1)+(k^2+2k+1-1)
=k(k^2-1)+3(k^2+k) ,能被3整除
所以：对任意自然数n,
n(n^2-1)能被3整除。

收起

用数学归纳法证明：(2^3n)-1 n∈N* 能被7整除用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除用数学归纳法证明（2^3n)-1 (n属于N*）能被7整除用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N* 用数学归纳法证明(4^2n)+1+3^(n+2)能被13整除用数学归纳法证明 n(n^2-1)能被3整除用数学归纳法证明n(n^2-1)能被3整除用数学归纳法证明；（n-1)^3+n^3+(n+1)^3能被9整除用数学归纳法证明整除的问题用数学归纳法证明：3^(2n+2)-8n-9（n∈N*)能被64整除用数学归纳法证明2的3n-1次方-1能被7整除用数学归纳法证明(x+3)n次方-1能被(x+2)整除用数学归纳法证明：2^（3n）-1能被7整除用数学归纳法证明1+n/2 用数学归纳法证明3^(2n+2)-8n-9能被64整除用数学归纳法证明7^n+3^n-1能被4整除. 用数学归纳法证明 5^n+2*(11)^n 能被3整除用数学归纳法证明：n(n+1)(2n+1)（n属于正实数）能被6整除. 如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(n+2)能被3整除?