lim (x->1,m,n为正整数)的极限?但答案是m/n,我自己再算算

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/08 09:47:31

lim (x->1,m,n为正整数)的极限?
但答案是m/n,我自己再算算

x^m-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^m-1)
所以原式=m/n

lim<(x^m-1)/(x^n-1)>
=lim<(x-1)[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]/(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)>
=lim<[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]/[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)>
=(m-1)/(n-1)
x^m-1=(x-1)[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]
这个是公式来的
也可以用等比数列求和来推导

分子分母极限都是0,这是0/0型
所以可以用洛必达法则
lim<(x^m-1)/(x^n-1)>
=lim
=lim
=……
若m=n
则显然极限等于1
若m>n
则lim

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分子分母极限都是0,这是0/0型
所以可以用洛必达法则
lim<(x^m-1)/(x^n-1)>
=lim
=lim
=……
若m=n
则显然极限等于1
若m>n
则lim
=lim=m(m-1)……(m-n+1)/n!
=m!/[(n+1)!n!]
若m则lim
=lim=m!/[n!/(m+1)!]
=m!(m+1)!/n!

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