正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/05 03:49:33

正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

对称矩阵不同特征值的特征向量一定是两两正交的,不需要加正规矩阵的条件:
设对称矩阵A特征值a1对应特征向量x1,a2对应特征向量x2,我们来证明x1'x2=0
考虑a1x1'x2=(a1x1)'x2=(Ax1)'x2=x1A'x2
a2x1x2=x1(a2x2)=x1Ax2.
这里A是对称阵,所以a1x1'x2=a2x1'x2,就是(a1-a2)x1'x2=0,因为a1和a2不等是已知条件,所以x1'x2=0.
这里要注意Ax=ax,然后x1,x2都是向量,a1和a2都是数,x1'x2是向量的内积也是一个数..其他的就都是高中知识了

所以非对称矩阵的特征向量一定不可以两两正交。如果一时间不理解再拿刚才的例子对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征

不知道这么证明可行不？正规阵是可正交对角化的，即存在酉阵Q，使得A=QDQ*，其中D是对角阵，Q*是酉阵的共轭转置。设Ax=ax，Ay=by，a b分别是A的k m重特征值，不妨记D的前k个对角元就是a，第k+1 k+2,...,k+m个对角元是b，则有D(Q*x)=a(Q*x)，D(Q*y)=b(Q*y)，于是Q*x必须是e1 e2,...，ek的线性组合，Q*y必须是e(k+1)，...，e(...

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不知道这么证明可行不？正规阵是可正交对角化的，即存在酉阵Q，使得A=QDQ*，其中D是对角阵，Q*是酉阵的共轭转置。设Ax=ax，Ay=by，a b分别是A的k m重特征值，不妨记D的前k个对角元就是a，第k+1 k+2,...,k+m个对角元是b，则有D(Q*x)=a(Q*x)，D(Q*y)=b(Q*y)，于是Q*x必须是e1 e2,...，ek的线性组合，Q*y必须是e(k+1)，...，e(k+m)的线性组合，其中ei是单位阵的第i列。故(Q*x)*(Q*y)=0，即x*y=0。两者正交。

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正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交 证明实对称矩阵不同特征值的特征向量必定正交 不同特征值对应的特征向量一定正交嘛?还是只对正交矩阵而言? 矩阵A^2=E,且有不同的特征值,不同特征值的特征向量正交,证明A为正交阵 正交矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交吗对阵矩阵的一定正交,那一般的矩阵呢?还有正交矩阵呢?它们的不同特征值的特征向量一定会正交吗? 设 为实对称矩阵 的一个3重特征根,则 ( ).A) 矩阵 的对应特征值 的特征向量线性无关； (B) 矩阵 的对应特征值 的特征向量两两正交； (C) 矩阵 有3个对应 的两两正交的特征向量; (D) 矩阵 的对 为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢? 是不是只有实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的. 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量除了正交外还有其他的关系吗? 怎么证明实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交 任何一个矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交吗 特征值和特征向量的关系对实对称矩阵,不同的特征值的特征向量相互正交,但如果只是普通的矩阵,能否有不同的特征值的特征向量相互正交? 线性代数,为什么相同特征值的特征向量不正交,不同特征值的特征向量正交? 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,为什么这里2对应的两个向量可以正交? 线性代数证明：实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量a1,a2必正交 线性代数：对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件?实对称阵还是什么? 实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗?我知道是对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,但是如果是相同特征值呢?特征向量是一定不正交,还是说有时候正交,有时候不正交呢? 相似矩阵性质两矩阵相似,特征值相同,那他们的特征向量之间还有联系吗?