学帮网导函数x的四次方乘以sinx或者cosx的原函数是什么?要说明...
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 15:26:23
导函数x的四次方乘以sinx或者cosx的原函数是什么?要说明...
有种方法叫做Tabular Method,能快捷解出xⁿe^(ax),xⁿsinx,xⁿcosx等这类型的积分
前提是其中一个的导数要是有限形式,无限求导会变为0,而积分则是无限循环的
∫ x⁴sinx dx
设ƒ(x) = x⁴,I(x) = sinx
以下将不断分别对ƒ(x)求导,和对I(x)求积分,直到求导结果是0为止.
ƒ(x) = x⁴,I(1) = sinx
ƒ'(x) = 4x³,I(2) = - cosx,+
ƒ''(x) = 12x²,I(3) = - sinx,-
ƒ'''(x) = 24x,I(4) = cosx,+
ƒ⁴(x) = 24,I(5) = sinx,-
ƒ⁵(x) = 0,I(6) = - cosx,+
于是交叉相乘：
(x⁴)(- cosx) - (4x³)(- sinx) + (12x²)(cosx) - (24x)(sinx) + (24)(- cosx)
= - x⁴cosx + 4x³sinx + 12x²cosx - 24xsinx - 24cosx
于是∫ x⁴sinx dx = - x⁴cosx + 4x³sinx + 12x²cosx - 24xsinx - 24cosx + C
同样地：
∫ x⁴cosx dx
ƒ(x) = x⁴,I(1) = cosx
ƒ'(x) = 4x³,I(2) = sinx,+
ƒ''(x) = 12x²,I(3) = - cosx,-
ƒ'''(x) = 24x,I(4) = - sinx,+
ƒ⁴(x) = 24,I(5) = cosx,-
ƒ⁵(x) = 0,I(6) = sinx,+
(x⁴)(sinx) - (4x³)(- cosx) + (12x²)(- sinx) - (24x)(cosx) + (24)(sinx)
= x⁴sinx + 4x³cosx - 12x²sinx - 24xcosx + 24sinx
于是∫ x⁴cosx dx = x⁴sinx + 4x³cosx - 12x²sinx - 24xcosx + 24sinx + C
这种方法就是积分中的速解法,是分部积分法的特殊形式.
如果只用分部积分法解的话步骤将会很长,烦死了是不?