“奇函数在区域[—a,a]上的定积分等于0”的证明

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/04/29 20:56:13

“奇函数在区域[—a,a]上的定积分等于0”的证明

将此积分分为两部分的和:
积分区间为[-a,0]的式子.(1)
积分区间为[0,a]的式子.(2)
把(1)式做变量替换 x ==> -x
应用奇函数的性质,你会发现它变成了负的(2)式.
所以和就是0了.

奇函数 f(x) = - f(-x)
∫(-a,a) f(x)dx = ∫(-a,0)f(x)dx +∫(0,a) f(x)dx =A+B
令 t = -x ,A= - ∫(a,0)f(-t)dt = ∫(a,0)f(t)dt = - ∫(0,a)f(t)dt = -∫(0,a)f(x)dx = -B
A+B=0,即 ∫(-a,a) f(x)dx =0

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