如何证明:当x趋于0时,e^x-1与x是等价无穷小?谈下思路(具体构造什么函数…),不过我是高职,没学过这个展开式,下去我再看看。
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/09 22:43:16
如何证明:当x趋于0时,e^x-1与x是等价无穷小?谈下思路(具体构造什么函数…),
不过我是高职,没学过这个展开式,下去我再看看。
利用泰勒展开式
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
则e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
x趋于0
lim(e^x-1)/x=lim[1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!+...]=1
所以是等价无穷小
e^x-1 e^x
lim ------------------------- =lim ---------------- =1
x-0 x x-0 1
e^x-1与x是等价无穷小
lim (x趋于0) e^x-1/x
用罗比达法则
得
lim (x趋于0) e^x =e^0=1
如果为1 的话 就说明是等价无穷小
ps 如果不 为 1 的话 就是 同阶无穷小
为 ∞ 的话 就是高阶
为 0 的话 就是 低阶
求(e^x-1)/x ,当x趋于0时的极限
求极限时分子分母都要求一阶导数,分子为导数为e^x,在x趋于0时等于1
分母的导数为1
也就是当x趋于0时(e^x-1)/x的极限为1
因此得证
要证明这个,只需要证明e^x-1除以x在x趋近于0时,极限是一个常数k即可,具体证明用洛必达法则就可!
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