学帮网证明:当x>1时,(x-1)/x
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/16 10:23:50
证明:当x>1时,(x-1)/x
证明：f(x)=xlnx-(x-1),f'(x)=lnx>0(因为x>1)f(x)是增函数,又f(1)=0,所以f（x)>f(1)=0,x>1.有,(x-1)/x
设y=x-1-lnx
y'=1-1/x=(x-1)/x>0 说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx
y'=1/x-1/x2=(x-1)/x2>0 说明y单增
x从正方向趋近1，y>0
所以y>0,即lnx>(x-1)/x
所以x>1时,(x-1)/x
先证右边，
设f（x）=x-1-lnx，x>=1，则
f‘（x）=1-1/x
当x>=1时，f‘（x）>=0，
故x>1时，f（x）>f（1）=0
所以lnx
设g（x）=xlnx-（x-1），x>=1，
g’（x）=lnx+1-1=lnx >=0
故x>1时，g（x）>g（1）
即(x-1)/x...
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先证右边，
设f（x）=x-1-lnx，x>=1，则
f‘（x）=1-1/x
当x>=1时，f‘（x）>=0，
故x>1时，f（x）>f（1）=0
所以lnx
设g（x）=xlnx-（x-1），x>=1，
g’（x）=lnx+1-1=lnx >=0
故x>1时，g（x）>g（1）
即(x-1)/x
收起
y=lnx-1+1/x 定义域 x>0
y'=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2 x>1 y'>0 y在x>1 上是增函数 ymin=y(x=1)=0
函数y=lnx-1+1/x >0 ,(x-1)/x
y=x-1-lnx 定义域 x>0
y'=1-1/x 0
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y=lnx-1+1/x 定义域 x>0
y'=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2 x>1 y'>0 y在x>1 上是增函数 ymin=y(x=1)=0
函数y=lnx-1+1/x >0 ,(x-1)/x
y=x-1-lnx 定义域 x>0
y'=1-1/x 0
x=1 y'=0 y有极小值
x=1 y=0
y=x-1-lnx>0
x-1>lnx
当x>1时,(x-1)/x
收起