学帮网abc为实数,且a=b+c+1,证明两个一元二次方程x^2+x+b=0,x^2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/08 13:34:00
abc为实数,且a=b+c+1,证明两个一元二次方程x^2+x+b=0,x^2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根
反证法：假设两方程均没有两个不相等实数根.
则对于x²＋x＋b＝0
△＝1－4b≤0,
化简得：
b≥1/4
∵a＝b＋c＋1,
∴a≥c＋5/4
对于x²＋ax＋c＝0,
△＝a²－4c≤0,
即a²≤4c,
∵a≥c＋5/4,
∴a²≥c²＋5/2c＋25/16
由不等式传递性,
4c≥c²＋5/2c＋25/16
即c²－3/2c＋25/16≤0,
即（c－3/4）²＋1≤0,
∵一个实数的平方必定为非负数,
∴与题设矛盾,
∴这两个方程必定有至少一个有两个不相等实根
假设两个方程都没有两个不相等的实数根，
那么1-4b≤0且a^2-4c≤0，另外我们得知a=b+c+1,我们分别称三个式子为1,2,3式，
把1式加2式，得到，a^2+1-4b-4c≤0
又由1式得到，a^2-4a+5≤0, 即(a-2)^2+1≤0
显然这个式子是不可能成立的，那么我们的假设错误，反证得出两方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根...
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假设两个方程都没有两个不相等的实数根，
那么1-4b≤0且a^2-4c≤0，另外我们得知a=b+c+1,我们分别称三个式子为1,2,3式，
把1式加2式，得到，a^2+1-4b-4c≤0
又由1式得到，a^2-4a+5≤0, 即(a-2)^2+1≤0
显然这个式子是不可能成立的，那么我们的假设错误，反证得出两方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根
收起
△1＝1－4b，
△2＝a2-4c= a2-4(a-b-1)= a2-4a+4+4b=(a-2)2+4b
若△1>0时，4b<1，所以△2>0或△2<0
若△1<0时，4b>1，所以△2>0
所以两个一元二次方程x^2+x+b=0,x^2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根
此题用反证法