正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.(1)如图2,若点P在线段
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/13 13:58:15
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.
(1)如图2,若点P在线段OA上(不与点A、O重合)PE⊥PB且交CD于点E.
1、求证:DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论.
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合)PE⊥PB且PE交直线CD于点E,判断(1) 中的结论1、2是否成立?若不成立,写出相应结论.
我去吃饭 ==来看
题目显然有问题.DF怎么可能与CF垂直呢? F点在CD上面.应是CF=DF吧.
(1)
如图,连接PD,作PG⊥BC于G.
1.易证明PF=PG,∠BPG=∠EPF.
因此,三角形BPG与EPF全等,有PD=PB=PE.
又PF⊥CD,易证明DF=EF
2.由正方形斜边与边的关系易得:
PA=(根号2)DF
PC=(根号2)(CE+DF) ---注 DF=EF
将两式相减得
PC-PA=(根号2)CE
(2)
当点P在OC上时,E点在DC的延长线上(如图)
1.同理容易证明三角形全等得EF=DF
2.同理有
PA=(根号2)DF
PC=(根号2)(DF-CE) ---注 DF=EF
两式相关得
PA-PC=(根号2)CE
最后再补充一句,在知道上求助,大家不为你的分,求助该有求助的态度,不要好像给人家好处似的“速度速度”.
(1)如图1,延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AQ=BQ,
∴AQ=BQ=PQ,
∵O是对角线AC的中点,
∴PQ=PF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠Q...
全部展开
(1)如图1,延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AQ=BQ,
∴AQ=BQ=PQ,
∵O是对角线AC的中点,
∴PQ=PF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②如图2,过点P作PG⊥AD.
∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=
2
PG,PC=
2
CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=
2
EF,
∴PC=
2
CF=
2
(CE+EF)=
2
CE+
2
EF=
2
CE+PA,
即PC、PA、CE满足关系为:PC=
2
CE+PA;
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=
2
CE.
如图3:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=
2
PG=
2
DF=
2
EF,PC=
2
CF,
∴PA=
2
EF=
2
(CE+CF)=
2
CE+
2
CF=
2
CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为:PA-PC=
2 CE.
收起
因为AEB=90,AOB=90
所以AEBO四点共圆
所以AEO=ABO
由于为正方形
因此ABO=45
所以AEO=45
(1)延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
易得出BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
全部展开
(1)延长FP交AB于点Q,,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
易得出BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=2PG,PC=2CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=2EF,
∴PC=2CF=2(CE+EF)=2CE+2EF=2CE+PA,
即PC、PA、CE满足关系为:PC=2CE+PA;
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=2CE.
如图:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=2PG=2DF=2EF,PC=2CF,
∴PA=2EF=2(CE+CF)=2CE+2CF=2CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为:PA-PC=2CE.
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