学帮网关于高数的.反常积分（后面的截图）,当k为何值时,该反常积分的取值最小?
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/15 08:58:11
关于高数的.反常积分（后面的截图）,当k为何值时,该反常积分的取值最小?
答：
作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时,上式=ln(lnx)+C发散
当k≠1时,不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k<1时发散.
当k>1时,limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
设函数f(k)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1),f'(k)=[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2
当f'(k)=0时,[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2=0
即(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)=0
(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)=(ln2)^(1-k)
(1-k)ln(ln2)=1
k=1-1/ln(ln2)
因为0=ln1
当k>1-1/ln(ln2)时,f'(k)>0,当1
就是不要随便蒙了。
y=lnx在点(u,lnu)斜率y'=1/x=1/u
切线方程 y-lnu=1/u(x-u) y=x/u-1+lnu 2<=u<=6
该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成图形面积
为 x/u-1+lnu-lnx在区间[2,6]上的定积分
因为∫（x/u-1+lnu-lnx)dx
=x^2/2u-x+xlnu-∫lnxdx
=...
全部展开
y=lnx在点(u,lnu)斜率y'=1/x=1/u
切线方程 y-lnu=1/u(x-u) y=x/u-1+lnu 2<=u<=6
该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成图形面积
为 x/u-1+lnu-lnx在区间[2,6]上的定积分
因为∫（x/u-1+lnu-lnx)dx
=x^2/2u-x+xlnu-∫lnxdx
=x^2/2u-x+xlnu-xlnx+∫dx
=x^2/2u-x+xlnu-xlnx+x+c
=x^2/2u+xlnu-xlnx+c
所以x/u-1+lnu-lnx在区间[2,6]上的定积分为
S=[x^2/2u+xlnu-xlnx+c]|(2,6)=16/u+4lnu-4ln2
S'=-16/u^2+4/u=(-4/u)*(4/u-1) 2<=u<=6
当6>=u>=4,S'<=0
S减函数，最小值S=16/6+4ln6-4ln2=8/3-4ln3
当2<=u<4,S'>0
S增函数 最小值S=16/2+4ln2-4ln2=8
很明显当u=6时面积最小S=16/6+4ln6-4ln2=8/3-4ln3
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