高中定义的数列题.括号内为下标.若数列an满足a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/a(n)=K(常数),k称为公比和.已知数列an是以公比和为3的等比和数列,a1=1,a2=2,则a2009=?
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/06 04:07:05
高中定义的数列题.
括号内为下标.若数列an满足a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/a(n)=K(常数),k称为公比和.已知数列an是以公比和为3的等比和数列,a1=1,a2=2,则a2009=?
因为a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/a(n)=3 为一式 所以a(n+3)/a(n+2)+a(n+2)/a(n+1)=3此为二式
用二式减去一式得到 a(n+3)/a(n+2)=a(n+1)/a(n )此为三2式
又因为a1=1,a2=2 所以得出a3=2,a4=4
由三式及a1,a2,a3,a4的大小就得出a(2n-1)为公比为2的等比数列
所以算出a2009=2的1004次方
2^1005 (an=2^(n/2)
a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/an=K
a(n+1)/an+an/a(n-1)=K
两式相减,得:
a(n+2)/a(n+1)=an/a(n-1) 即:
a(n+2)/an=a(n+1)/a(n-1) 即数列{a(n+2)/an}是个常数数列,则:
a(n+2)/an=a3/a1,而a3/a2+a2/a1=K=3,则a3=2,即a(n+2...
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a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/an=K
a(n+1)/an+an/a(n-1)=K
两式相减,得:
a(n+2)/a(n+1)=an/a(n-1) 即:
a(n+2)/an=a(n+1)/a(n-1) 即数列{a(n+2)/an}是个常数数列,则:
a(n+2)/an=a3/a1,而a3/a2+a2/a1=K=3,则a3=2,即a(n+2)/an=a3/a1=2----------(*)
对上式利用累乘的方法求出:[a(2009)/a(2007)][a(2007)/a(2005)]…[a3/a1]=[a(2009)]/[a1]=2^(2004),则a(2009)=2^(2004)×a1=2^(2004)
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a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/a(n)=3 为一式 所以a(n+3)/a(n+2)+a(n+2)/a(n+1)=3此为二式
用二式减去一式得到 a(n+3)/a(n+2)=a(n+1)/a(n )又因为a1=1,a2=2 所以得出a3=2,a4=4
由a(n+3)/a(n+2)=a(n+1)/a(n )及a1,a2,a3,a4的大小就得出a(2n-1)为公比为2...
全部展开
a(n+2)/a(n+1)+a(n+1)/a(n)=3 为一式 所以a(n+3)/a(n+2)+a(n+2)/a(n+1)=3此为二式
用二式减去一式得到 a(n+3)/a(n+2)=a(n+1)/a(n )又因为a1=1,a2=2 所以得出a3=2,a4=4
由a(n+3)/a(n+2)=a(n+1)/a(n )及a1,a2,a3,a4的大小就得出a(2n-1)为公比为2的等比数列
所以a2009=2的1004次方
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由n=1,2,3,4,5,6,分别求出a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,然后总结规律,求出a2009.
,a3=4,
,a4=4,
∴a3=a4=22.
,a5=8,
,a6=8,
∴a5=a6=23,
,a7=16.
,a8=16.
∴a7=a8=24.
由此可知a2009=a2010=21...
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由n=1,2,3,4,5,6,分别求出a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,然后总结规律,求出a2009.
,a3=4,
,a4=4,
∴a3=a4=22.
,a5=8,
,a6=8,
∴a5=a6=23,
,a7=16.
,a8=16.
∴a7=a8=24.
由此可知a2009=a2010=21005.
故答案为:21005.
点评:本题考查数列的递推式,解题时要认真审题,总结规律,仔细求解.
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