证明一个有理数和一个无理数的和是无理数

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 13:34:22

证明一个有理数和一个无理数的和是无理数

这个太简单了吧,反证法搞定.
一下字母m,n,i,j都是整数,其中n和j是非0整数.
把有理数表示为 m/n ,无理数表示为A,有理数和无理数的和为 m/n + A.
假设和是有理数,那么这样一个有理数可以表示为分数 i/j,
即 m/n + A = i/j
于是A = i/j - m/n = (in - jm) / jn
因为mnij皆为整数,所以 (in - jm) 是整数,jn也是整数
也就是说 A 可以表示为两个整数相除,和A是无理数的已知条件矛盾
所以,m/n + A 为无理数

设a是有理数, b是无理数, 并且假设a+b是有理数.
任何有理数都可以表示为分数(分母可以是1;分子可以是0 ), 所以
a+b = m/n (m/n为最简分数)
b = m/n -a = p/q (p/q为最简分数)
于是b是有理数, 这b是无理数的假设相矛盾, 所以a+b是无理数.

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