一道关于基本不等式的数学题,a、b、x、y∈R,满足a²+b²=p²,x²+y²=q²(p>0,q>0),则ax+by的最大值是
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/01 12:38:40
一道关于基本不等式的数学题,
a、b、x、y∈R,满足a²+b²=p²,x²+y²=q²(p>0,q>0),则ax+by的最大值是
ax+by<=[根号(a^2+b^2)]*[根号(x^2+y^2)]=pq
由a^2+b^2=p^2,x^2+y^2=q^2(p>0,q>0)得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2
=(a^2x^2+b^2y^2+2axby)+(a^2y^2+b^2x^2-2aybx)
=(ax+by)^2+(ay-...
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ax+by<=[根号(a^2+b^2)]*[根号(x^2+y^2)]=pq
由a^2+b^2=p^2,x^2+y^2=q^2(p>0,q>0)得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2
=(a^2x^2+b^2y^2+2axby)+(a^2y^2+b^2x^2-2aybx)
=(ax+by)^2+(ay-bx)^2=p^2q^2
=>(ax+by)^2=p^2q^2-(ay-bx)^2 =>ax+by=根号[p^2q^2-(ay-bx)^2]
因为(ay-bx)^2>=0,
所以只有当(ay-bx)^2=0时ax+by=根号[p^2q^2-(ay-bx)^2]才有最大值为根号(p^2q^2)=pq
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一道基本不等式的数学题
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