用数学归纳法证明4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2n为大于1的整数
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/13 05:58:48
用数学归纳法证明4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2
n为大于1的整数
说明:此题n为大于等于的整数也是成立的
证明:(1)当n=1时,∵4n/(n+1)=4*1/(1+1)=2
(2n)!/(n!)^2=(2*1)!/(1!)^2=2
∴4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2成立
当n=2时,∵4n/(n+1)=4*2/(2+1)=8/3
(2n)!/(n!)^2=(2*2)!/(2!)^2=6
∴4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2成立
(2)假设当n=k (k>2)时,4k/(k+1)≤(2k)!/(k!)^2成立
当n=k+1时,∵(2n)!/(n!)^2=(2(k+1))!/((k+1)!)^2
=[(2k+2)(2k+1)(2k)!]/[(k+1)^2*(k!)^2]
=[(2k)!/(k!)^2]*[2(k+1)(2k+1)/(k+1)^2]
≥[4k/(k+1)]*[2(k+1)(2k+1)/(k+1)^2]
=[4(k+1)/(k+2)]*[(2k)(k+2)(2k+1)/(k+1)^3]
=[4(k+1)/(k+2)]*[(2k)/(k+1)]*[(k+2)/(k+1)]*[(2k+1)/(k+1)]
>[4(k+1)/(k+2)]*1*1*1
=[4(k+1)/(k+2)]
=4n/(n+1)
∴4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2成立
故综合(1)和(2),由数学归纳法得4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2 (n为大于等于的整数)成立.
用数学归纳法证明4n/(n+1)≤(2n)!/(n!)^2n为大于1的整数
用数学归纳法证明1+n/2
用数学归纳法证明:2≤(1+1/n)^n<3(n∈N)
用数学归纳法证明:an=1/(n^2+n)
用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+...+n^2 = (n^4+n^2)/2
用数学归纳法证明1+4+7+...+(3n-2)=[n(3n-1)]/2
用数学归纳法证明(1) 2^n>n^4(2) (1+1/n)^n<n
用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)+.+(n+n)=(2^n)*1*3*.(2n-1)
用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3,n∈N+)
用数学归纳法证明ln(n+1)
用数学归纳法证明不等式 2^n
用数学归纳法证明:1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)+...+n(n^2-n^2)=[n^2(n-1)(n+1)]/4
用数学归纳法证明:-1+3-5+...+(-1)n*(2n-1)=(-1)n*n
证明2^n>2n+1 (n>=3,n为自然数),用数学归纳法
用数学归纳法证明1+4+9+...+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)ji,
用数学归纳法证明1+4+9+……+n^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1)
用数学归纳法证明1*4+2*7+3*10+.+n*(3n+1)=n*(n+1)^2
用数学归纳法证明1+4+9+...+n²=1/6n(n+1)(2n+1)