学帮网请好人帮我讲讲线性代数“方阵的特征值和特征向量”里面的基础解系究竟怎么具体出来?我看了教科书的3阶的方阵例题,而且发现当有2个相同的特征值时,其基础解系又不一样!请好人帮我详
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 09:24:01
请好人帮我讲讲线性代数“方阵的特征值和特征向量”里面的基础解系究竟怎么具体出来?
我看了教科书的3阶的方阵例题,而且发现当有2个相同的特征值时,其基础解系又不一样!请好人帮我详细讲讲
我们课本最常见的就是三阶,而且考试也以三阶为主,我就给你用三阶的举例说明吧
三阶方阵A求特征向量,特征值的方法：
1,先求特征多项式|λE-A|=0 解出特征值λ1,λ2,λ3
特征值一定有三个（因为三阶,或许会有两重根(λ1=λ2),但重某种意义上说也是三个）.
2,把特征值代入特征方程(λiE-A)X=0求特征向量
case1.把单根的特征值代入特征方程(λiE-A)X=0,肯定并且只能解出一个特征向量.
case2.把重根（两个相等的根）代入特征方程(λiE-A)X=0求特征向量的个数看R(λiE-A)：
当R(λE-A)=2时,特征方程(λiE-A)X=0有一基础解系；（基础解系的个数就是阶数减去秩）.
当R(λE-A)=1时,特征方程(λiE-A)X=0有两基础解系（注意这两个基础解系一定线性无关).
至此应该有你要的答案了.我再往后说一点.
考试往往不是简单的求解特征值,特征向量.很多情况是让你判断它能否对角化.
我们知道实对称矩阵一定可以对角化.但对于一般的矩阵呢（就如上面说的这个）,如何判断它能否对角化呢?通过上面的两步以后,我们接下来看第三步.
3.,如果第二步中解出三个单根,则一定可以对角化.
如果第二步中出现二重根,我们只看case2的情况（case1不管）,
当R(λE-A)=1时,特征方程(λiE-A)X=0有两基础解系,则矩阵A可以对角化
即存在可逆矩阵P,有P^(-1)AP=∧
当R(λE-A)=2时,特征方程(λiE-A)X=0有一基础解系,则矩阵A一定不可对角化.
体会到了吗?可对角化必须有三个线性无关的特性向量.还有就是不同特征值的特征向量一定线性无关.
特征值相同，不一定有相同的特征向量