学帮网已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0,2】（1）求f(x)的值域 （2）设a≠0,函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0,2】.若对任意x1∈【0,2】,总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 19:03:33
已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0,2】
（1）求f(x)的值域 （2）设a≠0,函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0,2】.若对任意x1∈【0,2】,总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0,2】
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（1）求f(x)的值域 （2）设a≠0,函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0,2】.若对任意x1∈【0,2】,总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈[0,2]
(1)求f(x)的值域
x=0时,有f(x)=0；x≠0时,有
f(x)=4x/(3x^2+3)
=(4/3){1/[x+(1/x)]},
又h(x)=x+(1/x)在(0,1)上为减函数,在[1,2]上为增函数,所以h(x)=x+(1/x)在x=1时取最小值2,从而f(x)=4x/(3x^2+3)≤2/3.即f(x)的值域为[0,2/3].
(2)设a不等于0,函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围
由题意可知,“对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0”成立的充要条件为“函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0,2/3]的子区间”.
当a＜0时,g'(x)= ax^2-a^2＜0,函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x,x∈[0,2]为减函数,且g(0)=0,所以,此种情况不成立.
当a＞0时,令g'(x)= ax^2-a^2=0,得x^2=a,x=√a.由于g(0)=0,又函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0,2/3]的子区间,所以,g(x)在区间[0,2]上必为增函数,即必有√a≥2,得a≥4,且g(2)=8a/3-2a^2≤2/3.解得a≤1/3或a≥1.
综合知a≥4即为所求.
答案是［1/3,1
］