学帮网已知曲线参数方程,如何求某一点处的密切平面方程?设空间曲线的参数方程为x=x(t) , y=y(t) , z=z(t),求曲线在t=t0处的密切平面方程.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 11:49:38
已知曲线参数方程,如何求某一点处的密切平面方程?
设空间曲线的参数方程为x=x(t) , y=y(t) , z=z(t),求曲线在t=t0处的密切平面方程.
密切平面
密切平面：过空间曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面σ,当Q点沿着曲线趋近于P时,平面σ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面.
密切平面的方程
一般参数的表示
(R − r(t0),r'(t0),r''(t0)) = 0
其中 R ＝ {X,Y,Z}表示P点的密切平面上任意一点的向径.
也可用行列式表示：
|X-x(t0) Y-y(t0) Z-z(t0)|
| x'(t0) y'(t0) z'(t0) | =0
| x''(t0) y''(t0) z''(t0) |
设曲线参数方程为x=x(t) , y=y(t) , z=z(t)，或写为r(t)，t是弧长参数。
令T(t)=r'(t)是切向量（速度向量）
和N(t)=r''(t)/|r''(t)|是主法方向上的单位向量。
显然 T'和 N 方向相同, T' = cN, c是曲率。
则密切平面就是T和N张成的平面。设这些平面都经过点t0，
则 r(t)-t0 可由 T 和...
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设曲线参数方程为x=x(t) , y=y(t) , z=z(t)，或写为r(t)，t是弧长参数。
令T(t)=r'(t)是切向量（速度向量）
和N(t)=r''(t)/|r''(t)|是主法方向上的单位向量。
显然 T'和 N 方向相同, T' = cN, c是曲率。
则密切平面就是T和N张成的平面。设这些平面都经过点t0，
则 r(t)-t0 可由 T 和 N 线性表出，
r(t)-t0 = a(t) T(t) + b(t) N(t)
两边求导
T = a'T + aT' + b'N + bN' ....(方程1)
设 B=TxN 是垂直于 T, N张成平面的单位向量，
则 N' = f*T + g*B
所以方程1可以整理为
0 = (a'-1+bf) T + (ac+b') N + g B
因为 T, N, B无关，所以三个系数都为0
特别的， g = 0，注意到g就是挠率，所以是平面曲线。
或者直接由
B'=T'x N + T x N' = cN x N + T x fT = 0
可以得到 B 是常向量，而T, N张成的平面(密切平面)垂直于B且通过
定点，所以只能是一个固定的平面。
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