学帮网dx/dy+xy=-1,求通解
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/13 16:05:04
dx/dy+xy=-1,求通解
dx/dy + xy = -1
积分因子：exp(∫ y dy) = exp(y²/2) = e^(y²/2)
dx/dy • e^(y²/2) + xy • e^(y²/2) = - e^(y²/2)
d/dy [x • e^(y²/2)] = - e^(y²/2)
x • e^(y²/2) = - ∫ e^(y²/2) dy + C
很遗憾,右边那个积分并不能用初等函数表示,通解可以是积分形式吗?
x • e^(y²/2) = - ∫(a~y) e^(t²/2) dt + C,a和C都是任意常数
具体要用误差函数erfi(x)表示：
x • e^(y²/2) = - √(π/2) • erfi(y/√2) + C,其中[erfi(x)]' = 2/√π • e^(x²)
这是一阶线性微分方程，有公式。其实，只要是一阶线性微分方程，是有公式的，并且能直接用的。
知道公式，答案就可以看出来了，公式课本上有
我算的：e^(-xy)*(-e^(xy)/x+C)
x=1/2,y=1
原题是dy/dx=1/(x^2+xy)
所以dx/dy=(x^2+xy)
两边同时处以x^2
[dx/x^2]*[1/dy]=y*[1/x]+1
d(1/x)/dy+y*[1/x]+1=0
1/x是y的一阶线性微分方程
利用一阶线性微分方程的求解公式即可。
x'+p(y)x=Q(y)
通解公式为x=e^(-∫p(y))dy[C+∫q(y)e^（∫p(y)dy）dy]
p(y)=y,q(y)=-1
所以其解为x=e^(-1/2y^2)[C-∫e^(1/2y^2)dy]
∫e^(1/2y^2)dy,令y^2=t,利用分部积分可求
希望对你有用
将x看做y的函数，利用一阶线性常微分方程的通解，通解公式为x=e^(-∫p(y))dy[C+∫q(y)e^（∫p(y)dy）dy]，算一下就行了