学帮网相同的周长,圆的面积最大,如何证明?
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/10 02:29:15
相同的周长,圆的面积最大,如何证明?
你拿条线来
分别圈成不同图形.
很明显,圆的面积最大
或是有数值方法证明.
R=L/2π
S=1/2πr^2
而正方形
r=L/4
面积S=r^2
以此类推 比较!
给定一个周长l，让我们假设存在（至少）一个图形，它的周长是l，
而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。
首先，它必须是凸的，也就是说，在它内部（包括边界）任取两点，
然后通过这两点作一条直线，那么这整条直线都在这个图形的内部。
因为如果这条直线有一部分露在外面，我们把这条直线新割过来的
面积加上旧有的面积，算作一个新图形，它...
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给定一个周长l，让我们假设存在（至少）一个图形，它的周长是l，
而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。
首先，它必须是凸的，也就是说，在它内部（包括边界）任取两点，
然后通过这两点作一条直线，那么这整条直线都在这个图形的内部。
因为如果这条直线有一部分露在外面，我们把这条直线新割过来的
面积加上旧有的面积，算作一个新图形，它的面积比原来的大，而
周长反而小了（两点之间，直线最短）。
然后在曲线上任取一点，则必然有对应的唯一一点，使得这两点把
曲线分成等长的两段，现在通过这两点作一直线，这条直线把图形
分成两块（因为它是凸的，所以不会分成更多块）。这两块的面积
一定是相同的，如果不是，把面积比较大的那块以直线为对称轴反
射到另一边，我们就会有一个比原来更大的图形，这就矛盾了。这
是我上次讲的。
现在我们就换到另一个问题：现在有长为l/2的曲线，怎样才能在一
条直线旁边围出一个面积尽量大的图形（直线算作一边）？我们要
证明这是个半圆，然后和上面的推理结合起来就证明了我们的定理。
假设曲线的端点是a，b，它们都在直线上。要证明这是个半圆，只
要证明对曲线上的任一点c，ac和bc成直角（为什么？这是中学几何，
如果你忘了，想想ab的中点o，以及oa，ob，oc的长度）。
在纸上画个图比较容易理解我下面要讲的。线段ac和bc把图形分成
了三块，两块象月亮，一块是个三角形。想象一下象月亮的两块是
由c点为关节的一对钳子，可以开合，a点固定而b点可以随着钳子的
开合在直线ab上移动，那么象月亮的两块的面积是不会变的，只有
当中的三角形面积才会变。什么时候三角形面积最大？当然是ac和
bc成直角的时候
收起
设周长为C，面积S
则S圆=C²/4∏
Sn=C²tgα/4n
α=(n-2)*90/n
由此可以得出圆的面积
也可以把n代入得出正n边形的面积
从中可以看出，n取的数值越大，则其面积越接近圆的面积
由此得出结论，相同的周长,圆的面积最大