在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形 ABC在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四

在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形 ABC
在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,且AD、BC的延长线交于P,求证：S三角形PMN=1/4S四边形ABCD

证明 设E,F分别边AB,CD的中点,连ME,MF,NE,NF.
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC,
所以四边形EMFN为平行四边形.
由于NF‖BC,所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4.(1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4.(2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.(4)
延长EM,NF分别交AP于G,H.平行四边形ENHG的底EN=AD/2,EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半,所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2.
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立,
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

有没有图

我来告诉你，他们的太复杂证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有

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我来告诉你，他们的太复杂证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)
所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

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设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN...

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设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)
所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.
或者：
证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

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