学帮网设向量组a1,a2,a3,a4线性相关,a4不能由a1,a2,a3线性表示,证明：向量组a1a2a3线性相关.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 01:11:45
设向量组a1,a2,a3,a4线性相关,a4不能由a1,a2,a3线性表示,证明：向量组a1a2a3线性相关.
说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；
即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(注由于这里不好写下标,在此声明k1,k2,k3,k4为系数)
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系：
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(注c1,c2,c3为系数,也就是常数)
由上面第一个等式知：k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0
由上面第二条件知：a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3（不成立）
从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k4=0;如果k4!=0的话,那么经 过移项,两边同除以k4,可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾.
故在第1式中只有k4=0;
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关
证明：由a1,a2,a3,a4线性相关可知，存在实数k1,k2,k3,k4使得k1a1+k1a2+k3a3+k4a4=0(向量)，其中k1.k2,k3,k4不同时为0
则有a4=-[(k1/k4)a1+(k2/k4)a2+(k3/k4)a3]
而a4不能由a1,a2,a3线性表出，即k1=k2=k2=0=k4显然矛盾
只能是a4=0(向量)即k1a1+k2a2+k3a3=0...
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证明：由a1,a2,a3,a4线性相关可知，存在实数k1,k2,k3,k4使得k1a1+k1a2+k3a3+k4a4=0(向量)，其中k1.k2,k3,k4不同时为0
则有a4=-[(k1/k4)a1+(k2/k4)a2+(k3/k4)a3]
而a4不能由a1,a2,a3线性表出，即k1=k2=k2=0=k4显然矛盾
只能是a4=0(向量)即k1a1+k2a2+k3a3=0(向量)k1,k2,k3不全为0（向量）
故向量组a1,a2,a3线性相关 证毕
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没这么复杂啊
设a1,a2,a3线性无关，由a4不能由a1,a2,a3线性表示知a1,a2,a3,a4线性相关，这与题目矛盾，这就证毕了。