三道中学数学竞赛题,200分.截止至23日17：001.求证：对任意的正整数n,[√n(n+2)(n+4)(n+6)]不被7整除.（[x]表示不超过实数x的最大整数）2.已知t是正整数,若2的t次方可以表示成a的b次方+/-1(a、b是大

三道中学数学竞赛题,200分.截止至23日17：00
1.求证：对任意的正整数n,[√n(n+2)(n+4)(n+6)]不被7整除.（[x]表示不超过实数x的最大整数）
2.已知t是正整数,若2的t次方可以表示成a的b次方+/-1(a、b是大于1的整数).请找出满足上述条件的所有可能的t值.
3.是否存在14个正整数,使得其乘积等于其中的每一个数加1后得到的14个数的积的1/2008.
因为输入的问题,说明下：第一题n(n+2)(n+4)(n+6)都在根号里面,第二题+/-1表示加1或者减1
如果有合适的回答 剩下的100分随后奉上
这是原题，我觉得已经交待的比较清楚吧？
第二题t=3谁都能知道，肯定还有其他取值；第三题答案是存在
主要是前两题，但至少有答案了

1
n(n+2)(n+4)(n+6)=(n^2+6n+4)^2-16
考察n^2+6n+4被7除的余数,只能为2,3,4,6
分情况讨论,假设被7除余2
设n^2+6n+4＝7k+2,则k>=1
(7k+1)^2<(7k+2)^2-16<(7k+2)^2
故此时不能被7整除
后三种情况同理可证
2
答案只有t＝3
分情况讨论
若存在满足条件的t,则a必为奇数
b为偶数时,存在正整数n,使得a^b=(2n+1)^2
从而2^t=a^b+/-1=(2n+1)^2+/-1=4n^2+4n或者4n^2+4n+2
如果2^t=4n^2+4n=4n(n+1)
仅有n＝1时成立,此时,t＝3
如果2^t=4n^2+4n+2=2(2n^2+2n+1)
其中2n^2+2n+1为大于1的奇数,故而此时,无满足条件的t
b为奇数时
如果存在2^t=a^b-1=(a-1)(a^(b-1)+a^(b-2)+...+1)
其中a-1为偶数,但是后面的多项式为奇数个奇数（b个）相加,为奇数,故此时也无满足条件的t
如果存在2^t=a^b+1=(a+1)(a^(b-1)-a^(b-2)+...+1)
其中a+1为偶数,后面的多项式也为奇数个奇数相加减,而且,由于a>1
故而a^(b-1)>a^(b-2)...
所以后面的多项式为一个大于1的奇数,因此也无满足条件的t
综上,只有一个解,即t＝3
3
假设存在,记为a1,a2,..a14
有2008=(1+1/a1)(1+1/a2)..(1+1/a14)=2*2*2*251
先凑出1+1/a14=251/250
然后1+1/a13=1+1/a12=1+1/a11=5/4
剩下的a1=a2=..=a10=1

第一题用数学归纳法 第二题 t=3 第三题 不存在

楼主题目好像没说清楚额

1.令m=n+3为正整数，原式=x,又令m^2=M,M-5=Q
则x=[√n(n+2)(n+4)(n+6)]=[√(m^2-9)(m^2-1)]=[√(M-5)^2-16]=[√Q^2-16]
下面证明x=Q-1，即Q-1<√Q^2-16由m>=4,m^2>=16,Q=M-5>=11,所以-2Q+1<=-21<-16,即Q^2-2Q+1

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1.令m=n+3为正整数，原式=x,又令m^2=M,M-5=Q
则x=[√n(n+2)(n+4)(n+6)]=[√(m^2-9)(m^2-1)]=[√(M-5)^2-16]=[√Q^2-16]
下面证明x=Q-1，即Q-1<√Q^2-16由m>=4,m^2>=16,Q=M-5>=11,所以-2Q+1<=-21<-16,即Q^2-2Q+1下面证明x和y不能被7整除。
令a为非负整数，则当m=7a时，y=49a^2+1，除7余1
当m=7a+1时,y=49a^2+14a+2,除7余2
当m=7a+2时,y=49a^2+28a+5,除7余5
当m=7a+3时,y=49a^2+42a+10,除7余3
当m=7a+4时,y=49a^2+56a+17,除7余3
当m=7a+5时,y=49a^2+70a+26,除7余5
当m=7a+6时,y=49a^2+84a+37,除7余2
以上分析可知，对于所有的非负整数m都有，y不是7的倍数，因此x也不是7的倍数，即x不能被7整除。
即证明了，对任意的正整数n,[√n(n+2)(n+4)(n+6)]不被7整除。
2.不会，猜测可能只有3一个吧
3.[]内的为已经分配好的
1/2008=[1/2*1/2*1/2]*1/251=[1/2*1/2*1/2*250/251]*1/250=[1/2*1/2*1/2*250/251*1/2]*1/125=[1/2*1/2*1/2*250/251*1/2*4/5*4/5*4/5]*1/64=1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*4/5*4/5*4/5*250/251
即，存在，分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，4，4，4，250
由于最后式子分母已经都是素数，因此不存在其他的可能性

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设原式不带去整的部分=x
x=根号下{[(n+3)^2-1][(n+3)^2-9]}
=根号下{[(n+3)^2-5]^2-16}=x
设(n+3)^2-5=m 则 x^2=m^2-16
则显然x现在确定x的下限
考虑n>=1 所以m>=(1+3)^2-5=11
考虑m-1和x的大小关系
(m-1)^2=m^2-2m+1=x...

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设原式不带去整的部分=x
x=根号下{[(n+3)^2-1][(n+3)^2-9]}
=根号下{[(n+3)^2-5]^2-16}=x
设(n+3)^2-5=m 则 x^2=m^2-16
则显然x现在确定x的下限
考虑n>=1 所以m>=(1+3)^2-5=11
考虑m-1和x的大小关系
(m-1)^2=m^2-2m+1=x^2+16-2m+1<=x^2-5
所以有 m-1所以[x]=m-1=(n+3)^2-6
n为任意正整数，所以n+3除以7的余数可以为0-6
下面分别讨论：
余数0： 0*0-6=-6，即余1
1 1*1-6=-5 2
2 2*2-6=-2 5
3 3*3-6=2 2
4 4*4-6=10 3
5 5*5-6=19 5
6 6*6-6=30 2
所以所有情况下皆不能被7整除
2，3题前面的人答得很好，我就不浪费时间了

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