学帮网同余方程,10x=31 [mod=37] 怎么化简成x=?[mod=?] =是3条杠
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/30 00:26:09
同余方程,10x=31 [mod=37] 怎么化简成x=?[mod=?]
=是3条杠
题：10x==31 mod 37
注：以上用双等号==代替三线等号≡ 表示同余.
方法有很多,都是利用同余的基本性质呀.
解一：
10x==31==31-37*3==-80
x==-8==29
解二：
10x==31==-6 mod 37
5x==-3
35x==-21
-2x==16
x==-8==29
解三：
10x==31=-6
110x==-66
-x==-66
x==66==29
或10x==31
110x==341
因为111==0 mod 37
333==0 mod 37
故 (110-111)x==341-333
即-x==8
于是 x==-8==29
解四：不定方程法
10x==31+ 37y
以上用+37y 替代 mod 37.
注：我们可以认识到,[mod 37]它本身就代表着 37的某个任意倍数,可以在等式两端的同等地位的代数和项（即参加加法或减法的项目）上任意作代数和,而不影响同余式的求解.由于它的任意性,有时我也记成37**.[外一则：也可以让参与乘法的因子与37**作代数和]
以下接着说
10x==31+ 37y (此时我们可以仍然保留==号,提醒我们的目的是为了求解同余方程)
两边对10取余,并将10的倍数集中到同余式左侧即得
10z==1+7y
易见可取y=-3（得z=-2）,于是即得到
10x==31-111==-80,x==-8 mod 37
即x==29 mod 37
对于算式较复杂不更计算时,可以将
10x==31+ 37y 与10z==1+7y 进行比较得
x-z=3+3y,于是x+2=3+3*(-3),进行得x=-8
您不妨设置几个模数比较特殊的例题来自测一下这种不定方程解同余式的方法.
这种方式与常规的数材上不一样,是我自创的,但是也是契合同余式的性质的.
再例：解47x==89 mod 111
47x=89+111y
两边mod 47,或者说将47的倍数集中,得
47a==-5+17y (两式相减知x-a=2+2y)
同理mod17得,
-4a==-5+17b （两式相减知 3a=y-b)
取b=1,顺次逆求：a=-3,y=-8,x=2-16-3=-17==94 mod 111
两端同乘以 11 得 110x≡341(mod37) ，
所以 -x≡8(mod37) ，
所以 x≡-8≡29(mod37) 。能详细点么，正规方法怎么做两端同乘以 11 得 110x≡341 (mod 37) ，
即 111x-x≡333+8 (mod 37) ，
由于 111≡333≡0 (mod 37) ，
所以 -x≡8 (mod 37) ，
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两端同乘以 11 得 110x≡341(mod37) ，
所以 -x≡8(mod37) ，
所以 x≡-8≡29(mod37) 。
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