求一道机械能的物理题图如图,光滑水平面右端连接一半径为R的光滑半圆轨道,水平面长度X,用水平恒力将质量为m的小球从左端推倒右端然后撤去F,小球运动到半圆轨道最高点后又落回出发点

求一道机械能的物理题




图
如图,光滑水平面右端连接一半径为R的光滑半圆轨道,水平面长度X,用水平恒力将质量为m的小球从左端推倒右端然后撤去F,小球运动到半圆轨道最高点后又落回出发点
求：1、X取何值时,完成上述运动做的功最少,最小功是多少?
2、X取何值时,完成上述运动的力最小,最小是多少?

答案：
1：X=2R,最小功2.5mgR
2：X=4R,最小力F=mg
解析：
进入滑道时球获得总机械能为FX
到达滑道顶点时,由机械能守恒
总机械能=动能+重力势能 即
FX=1/2 mv*2 +2mgR
划出顶点后小球做初速水平的平抛运动
X=vt
2R=1/2 gt^2
这两个式子消去t,得
v^2=gX^2 / 4R
带入最上面的式子消去v,得
FX=mgX^2 /8R +2mgR
该式即最小功FX与X的关系函数
同时,为完成全部的圆周运动,到达顶点时须满足惯性离心力大于等于向下的重力
（否则未达顶点之前小球会离开半圆轨道）
即 mv^2/R >= mg
带入v^2,化简得
X >= 2R
至此,问题转化为在X >= 2R的区间内,求关系函数最小值的问题
又FX的关系函数为X的单调增函数
所以当X=2R时,
FX有最小值2.5mgR
同理,将FX与X关系函数左右都除以X,
得F与X的关系函数
F=mgX / 8R + 2mgR / X
对该式求导数得
mg / 8R - 2mgR / X^2
当该导数=0时,F与X的关系函数有最小值
解得X=4R
带入F与X关系函数,得
F=mg
关键点拨：
该类涉及圆周运动的机械能守恒问题,往往隐含着全过程需完成圆周运动的条件,注意利用惯性离心力与向心力的关系列出该条件.
针对在某一条件下求某量最小值的问题,不妨先列出若干个关系式,消去未知的参数,
得到问题涉及的关系函数,巧妙转化为求函数最值的问题.