(近年 湖北鄂州)的一道数学题设X1X2是关于一元二次方程X的平方+2ax+a的平方+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,X1的平方+X2的平方有最小值?最小值是多少?

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/08 00:09:52

(近年 湖北鄂州)的一道数学题
设X1X2是关于一元二次方程X的平方+2ax+a的平方+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,X1的平方+X2的平方有最小值?最小值是多少?

见图

(X1+X2)^2>=2X1X2
当X1=X2时有最小值2X1X2
楼上正解，最小值-4

x^2+2ax+a^2+4a-2=0
x1+x2=-2a
x1·x2=a^2+4a-2
（x1+x2）^2=x1^2+x2^2+2x1x2=4a^2
x1^2+x2^2=4a^2-2·（a^2+4a-2）=2（a-2）^2-4
当a=2时，有最小值-4

X1+X2=-B/A=-2a
x1x2＝c/a= (a^2+4a-2)/1
X1的平方+X2的平方 = (X1+X2)^2-2x1x2 = 4a^2-2(a^2+4a-2)
= 2a^2-8a+4 =2(a^2-4a+4)-4=2(a-2)^2-4
a=2

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