已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an+1 证明:1/a2+1/a3+.+1/a(n+1)
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/05 12:25:49
已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an+1 证明:1/a2+1/a3+.+1/a(n+1)
因为a(n+1)=2an+1.
所以a(n+1)+1=2*(an+1).
所以an+1=2^(n-1)*(a1+1)=2^n.
所以an=2^n-1.
因为当n>=2时,2^n>=4.
所以1-1/2^n>=3/4.
两边同时乘以2^n得:
an=2^n-1>=3*2^(n-2).
所以原式
a(2) = 2a(1) + 1 = 3, 1/a(2) = 1/3;
[1/a(n+1)] = 1/[2a(n) + 10]<1/2a(n) ,
1/a(n)<1/2a(n-1),……
所以,1/a(n+1) < ((1/2)^n)*(1/a(1)) =(1/2)^n);
所以,从a(3)可开始缩放,
即,原式 < 1/3 + (1/2...
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a(2) = 2a(1) + 1 = 3, 1/a(2) = 1/3;
[1/a(n+1)] = 1/[2a(n) + 10]<1/2a(n) ,
1/a(n)<1/2a(n-1),……
所以,1/a(n+1) < ((1/2)^n)*(1/a(1)) =(1/2)^n);
所以,从a(3)可开始缩放,
即,原式 < 1/3 + (1/2)^2 + (1/2)^3+ ……+(1/2)^n =1/3 + (1/4)/(1/2) -[(1/2)^(n-1)]/(1/2)]<1/3 + (1/4)/(1/2) = 2/3.
楼主,打字不易啊。
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