学帮网已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,且图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为2√10（1）求函数f(x)的解析式（2）求f(1)+f(2)+f(3)+.+f(102)的值
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/16 20:18:07
已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,且图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为2√10
（1）求函数f(x)的解析式
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+.+f(102)的值
奇函数满足f（0）=0 所以sin（φ）=0 φ=kπ 因为|φ|≤π/2,所以φ=0 最低点和最高点之间的距离=2√10,存在这样一个直角三角形,其中两个顶点分别为最高点和最低点,两点连线为直角三角形的斜边,长为2√10,而两条直角边分别为2和三角函数周期的一半,由此可解出三角函数周期的一半=6,故三角函数的周期=12,T=2π/ω=12,ω=π/6,所以f(x)=sin(πx/6)
由三角函数图像可以知道,f(1)+f(2)+f(3)+.+f(12)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+.+f(102)=f(97)+f(98)+f(99)+.+f(102）=f(1)+f(2)+f(3)+.+f(6）=1/2+√3/2+1+√3/2+1/2+0=2+√3
（1）f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,
∴φ=0，
图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离=√[(T/2)^2+2^2]=2√10,
平方得(T/2)^2+4=40,其中T是f(x)的最小正周期，
∴T/2=6=π/ω,
∴ω=π/6，
∴f(x)=sin(πx/6).
(2)f(12+k)=f(k),f(...
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（1）f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,
∴φ=0，
图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离=√[(T/2)^2+2^2]=2√10,
平方得(T/2)^2+4=40,其中T是f(x)的最小正周期，
∴T/2=6=π/ω,
∴ω=π/6，
∴f(x)=sin(πx/6).
(2)f(12+k)=f(k),f(12-k)=-f(k),102=12*8+6，f(6-k)=f(k),k∈N+,
∴原式=f(1)+f(2)+……+f(6)=2[f(1)+f(2)]+f(3)=2+√3.
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