设a,b∈R 且a+b=3 则 2的a次方+2的b次方 的最小值是?要过程

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/04/29 04:13:46

设a,b∈R 且a+b=3 则 2的a次方+2的b次方 的最小值是?
要过程

不用对数也可以,直接用均值不等式就行.
可得:a=3-b,所以
2^a+2^b
=2^(3-b)+2^b
=2^3/2^b+2^b
=8/2^b+2^b
≥2√(8/2^b×2^b)
=2√8
=4√2
即8/2^b=2^b,2^2b=8=2^3,2b=3,b=3/2时,获得最小值为4√2.

设2^a=x,2^b=y
则log2 x=a,log2 y=b
log2 x+log2 y=log2 xy=a+b=3
xy=2^3=8
2^a+2^b=x+y>=2根号下(xy)=4根号2
所以2的a次方+2的b次方的最小值是4根号2