学帮网在三角形ABC中,∠B＝60°,BA＝24cm,BC＝16cm..现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,求：（1
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 00:37:34
在三角形ABC中,∠B＝60°,BA＝24cm,BC＝16cm..
现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,求：
（1）几秒钟以后,三角形PBQ的面积是三角形ABC的面积的一半?
（2）这时,P、Q两点之间的距离是多少?
设经过时间t之后,PBQ=0.5*ABC
有三角形面积公式 S=0.5*AB*BC*sinB
因此 当 PB*BQ=0.5*AB*BC时
PBQ=0.5*ABC
即（BA-PA)*(BC-CQ)=0.5*BA*BC
(BA-4*t)*(BC-2*t)=0.5*BA*BC
(24-4*t)*(16-2*t)=0.5*24*16
即t^2-14*t+24=0
(t-2)*(t-12)=0
t=2 或 t=12(删除）
故 t=2
此时 BP=16 BQ=12
PQ^2=BP^2+BQ^2-2*BP*BQ*cos60
PQ=4根号13
设时间为t,由题知,BQ=16-2t,BP=24-4t.过点C和点Q分别作三角形ABC三角形QPB的高CD和QF，因为∠B＝60°，所以，BF=1/2BQ=1/2（16-2t）=8-t,同理，BD=16/2=8。
三角形BCD相似于三角形BQF，所以QF/CD=BF/BD=(8-t)/8,
三角形ABC的面积=三角形PBQ的面积的2倍，即AB*CD=2*PB*QF，即AB/PB=2...
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设时间为t,由题知,BQ=16-2t,BP=24-4t.过点C和点Q分别作三角形ABC三角形QPB的高CD和QF，因为∠B＝60°，所以，BF=1/2BQ=1/2（16-2t）=8-t,同理，BD=16/2=8。
三角形BCD相似于三角形BQF，所以QF/CD=BF/BD=(8-t)/8,
三角形ABC的面积=三角形PBQ的面积的2倍，即AB*CD=2*PB*QF，即AB/PB=2*QF/CD，分别代入可得式子
24/（24-4t）=2*（8-t)/8，解得t=2或 t=12(删除）。
QF^2=QB^2-BF^2=12^26^2=108,
PQ^2=QF^2+PF^2=10^+108=208,开平方,最后得
PQ=4根下13.
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