高中解析几何一小题问题求解.在抛物线y=4x^2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短,并求出这个最短距离.求过程中...不要用极限.我没学过...为什么设P(a,4a^2)呢?

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/15 03:34:00

高中解析几何一小题问题求解.
在抛物线y=4x^2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短,并求出这个最短距离.
求过程中...
不要用极限.我没学过...
为什么设P(a,4a^2)呢?

设抛物线上一点P(a,4a^2)
设此点横坐标是a,则y=4x^2,所以纵坐标是4a^2
到直线距离=|4a-a^2-5|/根号17
即求|4a-a^2-5|的最小值
|4a-a^2-5|=|a^2-4a+5|
=|(a-2)^2+1|
因为(a-2)^2+1〉0
所以|4a-a^2-5|=(a-2)^2+1
显然a=2有最小值
a=2
|4a-a^2-5|/根号17=1/根号17
素以P(2,16),距离=根号17/17

设该点坐标为(x0,y0)
d=(4x0-y0-5)/根号17=(4x0-4y0^2-5)/根号17
用2次函数极值可知dmin=4×根号17/17

设该点坐标为(x0,y0).
因为点在抛物线上=>y0=4x0^2.
那么就有：点到直线的距离d=|(4x0-y0-5)/√17|
=>d=|4x0-4x0^2-5|/√17
=|(2x0-1)^2+4|/√17
=>d的最小值为：4√17/17.（此时，x0=1/2).

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