如图,D为等边△ABC外一点,连结DA、DC、DB,若∠BDA=∠BCA,求证AD=BD+CD

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/07 14:34:30

解题结果：
如图所示,延长DB至E,使得DE=DA,连接AE
（第一步证明 △AED为等边三角形,这样就可以将所求证的问题转化,为下一步做准备）
由于∠EDA为60度,DE=DA,所以 △AED为等边三角形（由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等,这样就可以将CD“挪动”到BE处,和BD连接起来,从而达到求证结果）
因为AE=AD（第一步证明得出的隐含条件）,AC=AB（题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件）,∠EAB=∠DAC（因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度）,所以 △AEB与 △ADC全等（两边夹一角定理）,所以CD=BE（最后证明结论）
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD,即AD=BD+CD,证明完毕
解题思路：
看到此图,首先从直觉上感受,△ABC是个等边三角形这个条件,和另一个条件角BDA=角BCA没有联系,而且可以通过直觉看出,D点的位置不是一定的.而所证明的AD=BD+CD很难找到突破口.
笔者首先是从代数的角度算出每个线段之间的等式,需要用到三角函数,可以计算出.但从这道题的出题用意看不应该是此类作答方式,那么笔者就从几何角度另寻出路.
证明AD=BD+CD,类似这样证明一个长线段的长度与两个段线段相等的题目,经常使用的思路就是,将两条短线段拼接起来,然后和长线段对比,拼接起来的方式有很多,但从初中和高中的题目上看,多数是用：三角形全等,圆的直径转换,平行四边形对边等等.直觉告诉我们可以尝试用三角形全等解此题.
那么就需要延长CD造BD,或延长DB造CD,很多方式,但发现其他延长的方法不能让AD和作出的线段有共同的顶点,很难证明.发现题目中∠BDA=∠BCA=60度这一隐含条件可以用到,故在这个角上做文章,延长DB作出一个等边三角形.
那么问题就转化了成了CD=BE,可以尝试证明包含这两条线段的两个三角形全等,经过筛选,目光落在△ABE和△ADC上.最后条件推得,果然全等,那么解体顺利结束.
题外话：此题也可以求证：DA是∠BDC的平分线,解体思路相同.
Imagination is more important than knowledge. ---爱因斯坦