学帮网三角锥三条侧棱两两垂直,如何证明顶点射影是垂心.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 23:58:45
三角锥三条侧棱两两垂直,如何证明顶点射影是垂心.
三角锥P-ABC三条侧棱两两垂直,设顶点P在底面ABC上的射影为点Q,
求证：点Q为△ABC的垂心.
证明如下：
因为,PA⊥PB,PA⊥PC；
所以,PA⊥面PBC,可得：PA⊥BC.
因为,PQ⊥面ABC,可得：PQ⊥BC；
所以,BC⊥面APQ,可得：BC⊥AQ.
同理可得：AB⊥CQ,AC⊥BQ.
所以,点Q为△ABC的垂心.
三棱锥D-ABC,设顶点D在底面的射影为O,因为DA垂直于BC所以OA垂直于BC,同理OB垂直于AC,OC垂直于AB
所以O为三角形ABC的垂心
三角锥三条侧棱两两垂直，如何证明顶点射影是垂心
既然是三条侧棱两两垂直，三个侧面就都是直角三角形
你可以假想这是在正方体上砍下来的一个角，顶点P的投影一定在底面
ABC内，设为O。则PO⊥底面ABC
可以有多种构想：
1）连接CO,延长CO，交AB于D,PO⊥平面ABC，则，
PO⊥AB...................................
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三角锥三条侧棱两两垂直，如何证明顶点射影是垂心
既然是三条侧棱两两垂直，三个侧面就都是直角三角形
你可以假想这是在正方体上砍下来的一个角，顶点P的投影一定在底面
ABC内，设为O。则PO⊥底面ABC
可以有多种构想：
1）连接CO,延长CO，交AB于D,PO⊥平面ABC，则，
PO⊥AB.......................................1)
CP⊥PA,CP⊥PB,CP⊥平面PAB,CP⊥AB.............2)
由1）、2）知：AB⊥平面PCD,AB⊥CD，CD是三角形ABC一条边AB的高
同理，就可以证明AE⊥BC,AE是BC边上的高，
BF⊥CA,F是CA边上的高。
这三条高线我们都是直接通过延长AO,BO,CO得出的结论，
O就是三角形ABC的垂心
O又是顶点P在底面ABC的投影，所以，得证
2）可以直接通过已知推出结果：
PC⊥PA,PC⊥PB,则PC⊥平面PAB,PC⊥AB
在平面PAB内作PD⊥AB,则AB⊥平面PCD
连接CD,=====>CD⊥AB,CD是AB的高
同理，AE⊥BC,AE是BC边的高，AE,CD交点设为O
易得：PO是公垂线
连接BO并延长交对边于F，易证BF也是三角形ABC的另一条高线
得证
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