学帮网如图,过正方形ABCD顶点C的一条直线分别交AB、AD延长线于M、N,DM交BC于E,BN交CD如图,过正方形ABCD顶点C的一条直线分别交AB、AD延长线于M、N,DM交BC于E,BN交CD于F,DM与BN交于H,求证：AH⊥EF.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 20:34:35
如图,过正方形ABCD顶点C的一条直线分别交AB、AD延长线于M、N,DM交BC于E,BN交CD
如图,过正方形ABCD顶点C的一条直线分别交AB、AD延长线于M、N,
DM交BC于E,BN交CD于F,DM与BN交于H,
求证：AH⊥EF.
延长AH交EF于L交EC于k,作HG//AB交EC于G,作HI//BC交AB于I,反复利用相似三角形性质.证明如下：
令AB=BC=CD=DA=1,DF/FC=x,
根据相似三角形性质有：
DE/EM=NC/CM=ND/BC=DF/FC=> CE/EB=DE/EM=DF/FC=x=>CE=x/(x+1),BE=1/(x+1)
BM/CD=EM/DE=1/x => BM=1/x =>HB/HF=HM/HD=BM/DF=(1/x)/(x/(1+x))=(1+x)/x^2
EM/DE=1/x,EM/DM=1/(1+x)
HM/DM=(1+x)/(x^2+x+1)
EM/DM=1/(1+x)
DE/DM=x/(1+x)=>HE/DM=x/[(1+x)(x^2+x+1)]
HE/DE=1/(x^2+x+1)=>HG/DC=HE/DE
HG=DC*1/(x^2+x+1)=1/(x^2+x+1)
GE/CE=HE/DE=(1+x)^2/[x(x^2+x+1)]-1/x
GE=CE((1+x)^2/[x(x^2+x+1)]-1/x)=(1-BE)(1+x)^2/[x(x^2+x+1)]-1/x=(1+x)/(x^2+x+1)-1/(1+x)
HI=GB=GE+EB=(1+x)/(x^2+x+1)
AI=AB-BI=AB-HG=1-1/(x^2+x+1)=(x^2+x)/(x^2+x+1)
HI/FC=(1+x)^2/(x^2+x+1)
AI/EC=(x+1)^2/(x^2+x+1)=HI/FC
∠FCE=∠HIA=RT∠=> RT△AIH∽RT△ECF=> ∠HAI=∠FEC
=> ∠FEC+∠LKE=∠HAI+∠LKE=RT∠
=> AH⊥FE