学帮网高等代数证明问题设向量β可以由α1α2…αn线性表示,但不能由α1α2…αn－1线性表示.证明,向量组｛α1α2…αn｝与向量组｛α1α2…αn－1,β｝等价.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 03:17:57
高等代数证明问题
设向量β可以由α1α2…αn线性表示,但不能由α1α2…αn－1线性表示.证明,向量组｛α1α2…αn｝与向量组｛α1α2…αn－1,β｝等价.
证明：设β=k1α1+k2α2+…+knαn(k1,k2……kn不全为0）
又α1α2…αn－1均可由α1α2…αn线性表示.
∴显然向量组｛α1α2…αn－1,β｝可由向量组｛α1α2…αn｝表示.
an=（β-k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1）/kn
∵向量β不能由α1α2…αn－1线性,所以kn必不为零,若kn=0,则β=k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1(k1,k2……kn-1不全为0）,与题设矛盾
∴an可由α1α2…αn－1,β线性表示.
因为两个向量组均可互相线性表示,所以等价
两个向量组，前面都是一样的，最后的an和β。其中β可以由a1...an线性表出；an不能由a1...an-1线性表出。即求证，an可以由a1...an-1,β线性表出。假设β=k1*a1+k2*a2+....kn-1*an-1+kn*an;由题意可知kn必不为0.所以an=（β-k1*a1-k2*a2-....-kn-1*an-1）/kn;再整理一下形式，得证。...
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两个向量组，前面都是一样的，最后的an和β。其中β可以由a1...an线性表出；an不能由a1...an-1线性表出。即求证，an可以由a1...an-1,β线性表出。假设β=k1*a1+k2*a2+....kn-1*an-1+kn*an;由题意可知kn必不为0.所以an=（β-k1*a1-k2*a2-....-kn-1*an-1）/kn;再整理一下形式，得证。
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关键是证明an可以被a1,a2…an-1,B表示，你可以证得B=K1a1+…+Knan中的Kn不等于零，从而an=(B-K1a1-…-Kn-1an-1)/Kn，证毕
关键是证明an可以由{a1,a2…an-1,B}线性表出，根据条件“向量β可以由α1α2…αn线性表示，但不能由α1α2…αn－1线性表示”显然得证。