绘制地图时用4种颜色即可使相邻的国家（或地区）用不同的颜色区别出来,怎么证明?

绘制地图时用4种颜色即可使相邻的国家（或地区）用不同的颜色区别出来,怎么证明?

地图四色定理,四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一.四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”用数学语言表示,即“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”
电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程.美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”,后与阿佩尔合作编制一个很好的程序.就在1976年6月,他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明,轰动了世界.
四色定理的非计算机证明：庞加莱定理的一个应用
本文在原有的拓朴学、图论、及着色理论的基础上增加了一些必不可少的公理、定理及定义,从而建立了在着色问题上比较完善的理论系统,并采用了一些新的方法,证明了球面上及平面上平面图的四色定理.即在球面或平面上对于任何平面图有X(G)≤4.
一、 引 言
四色定理之所以长期得不到理论性而非计算机进行的证明,主要就是因为没有建立起一个既简要而又完善的理论系统.下面所列出的公理、定理、定义大都是证明四色定理所需要的,其中绝大部分都是原来拓朴学和图论和着色理论中已有的,极少是新增加的.
在“球面”或“平面”上在着色问题中的最重要的特点就是任何“圈”在“球面”或“平面”上的“阻断”作用.同样“圈”在所有“简单多面体”上也有这样的“阻断”作用.但在“非简单多面体”上有些“圈”就不再具有这种“阻断”作用,本文正是利用了这一特点证明了“四色定理”.
另一方面,数学家欧拉在证明“欧拉公式”V+F–E=2（其中V是
“简单多面体”的顶点数,E是“棱数”F是“面数”）采用了逐步“去线”“去面”“去点”的方法,而本文采用的是先“添线”然后再逐步“去点”与“去线”…反复进行,最终完成了证明.这两种方法虽然不完全相同但却有相似之处.
二、预 备
公理1：任何直达的（直接相连接的）两点,必须采用不相同的颜色.（注：本文均采用“点着色”的方法）
公理2：任何不能直达的两点可以采用相同的颜色着色.
公理3：在“平面”或“球面”上任何一个“封闭圈”（指若干条首尾相连的“线”所构成的图形）都可将“平面”或“球面”“分断隔离”成为不能直达的两部份,即这一部份内（即这个“圈”内）的点必须经过“封闭圈”（以后简称为“圈”）上的点才能到达另一部份内（即这个“圈”外）的点（在着色问题中,“线”与“线”之间是不能交叉的.因为如果“线”与“线”之间交叉则它们显然不能处于同一“平面”或“球面”上了.
公理4：在“环面”（形如普通的救生圈）上有些“封闭圈”是不能起到“分断隔离”的作用的.即“圈”一侧的“点”可以不必非要通过“圈”上的点就可以到达“圈”的另一侧的点.（这种“环面”实际上是“七可着色”的,但本文不加以讨论）
定理1：每一个没有三角形的可平面图是3可着色的（即X（G）≤3）
（注：本文中凡未加证明的定理均为“拓扑学”及“图论”中已有的定理,例如本文中的定理1、定理2、定理3、等.另外本文中所列举的公理也都是各种拓扑学和图论书中经常采用的,只不过是没有明确地列举出来而已）
定理2：一个图是双可着色的,当且仅当它没有“奇圈”.
定理3：在“平面”或“球面”上的完全图K 的着色数为4.
定义1：一个“奇圈”或“偶圈”内有一些点,则这些点叫作这个圈的“圈内点”.这个“圈”叫作这些点的“点外圈”.
定义2：一个“奇圈”或“偶圈”外有一些点,则这些点叫作这个圈的“圈外点”.
实际上“内”与“外”都是相对而言的.特别是在“球面”上更为明显.
定义3：一个“奇圈”或“偶圈”上有一些点,则这些点叫作这个圈的“圈上点”.
定义4：如果一个圈内仅有一个点,则这个“圈”称为这个点的“最小圈”.
定义5：如果去掉了某一个“着色点”之后并不改变原图的“着色数”,那么称这点为“着色可省略点”.
定理4：如果一个图中仅有一个“圈”及圈内仅有一个点,且这点与“圈上点”都分别相连则这个图的着色数：X（G）≤4.
证明：如图（1）ABCDE……的着色数X（G）≤3（根据定理1）当再加上圈内一点0之后,由于0与圈上所有的点都相连,所以点0必须取与圈上的点颜色都不相同的另一种颜色.故其着色数应再增加一,故有X（G）≤4.证明完.

图（1）
定理5：在平面图中增加一条连接原图中尚未连接的两点之间的连线,则新图的着色数不小于原图的着色数.
证明：假如这后来被连接的两点的原来的颜色是不相同的则连接之后也不会改变原来的着色数.假如这两点原来的着色是相同的,则此时有必要将其中的一个着色点改变为另一种颜色,并对全图的着色进行重新调整.这时新图的着色数仍不会小于原图的着色数.这是因为假设新图的着色数小于原图的着色数,（反证法）设原图的着色数为N,则新图的着色数为N-K,（N、K都是正整数且K