用詹森不等式证明一个不等式成立设ai > 0(i = 1,2,...,n) 证明:n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/31 16:20:46
用詹森不等式证明一个不等式成立
设ai > 0(i = 1,2,...,n)
证明:
n / (1/a1 + 1 / a2 + ...+ 1 / an)
当ai全相等时,n / (1/a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an) = (a1*a2*...*an)^(1/n) = (a1+a2+...+an) / n
当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^20),则f(x)严格递增且严格上凸.
由严格上凸,则有杰森不等式:
f((x1+x2+...+xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
即ln((x1+x2+...+xn)/n)>=(lnx1+...+lnxn)/n=ln(x1x2...xn)^(1/n)
又由f(x)严格递增知(x1+x2+...+xn)/n>(x1x2...xn)^(1/n)
综合知(x1+x2+...+xn)/n>=(x1x2...xn)^(1/n)
由ai>0,则1/ai>0
令xi=ai,则(a1*a2*...*an)^(1/n)
构造一个函数f(x)=lnx
详见http://www.math.ecnu.edu.cn/jpkc/sxfx/kcja/zsx01a/zsx01a01/zsx01a012.htm
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用数学归纳法证明詹森(Jensen)不等式用数学归纳法...
用詹森不等式证明n/(1/a1+1/a2+……+1/an
怎么证明不等式成立
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用积分中值定理证明不等式成立
证明如下不等式ai是正数。
证明不等式恒成立1
用排序不等式证明不等式
一个不等式证明
证明一个不等式
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帮忙证明一个不等式.
证明不等式成立已知函数f(x)=(x平方+3)/(x-1),设x>1,求证f(x)>6最好用基本不等式解决
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微积分题 证明这个不等式成立
这个不等式成立吗?怎么证明?
高数 证明不等式成立如题