两道高中排列组合的等式证明题目.注释:为方便表示,如nCr表示n个元素中选r个的组合数 需证明以下两个等式:kCk+(k+1)Ck+(k+2)Ck+······+(k+n)Ck=(n+k+1)C(k+1)nC1+2*nC2+3*nC3+······n*nCn=(1/2)*(cC0+cC1+
来源:学生学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/17 19:48:52
两道高中排列组合的等式证明题目.
注释:为方便表示,如nCr表示n个元素中选r个的组合数
需证明以下两个等式:
kCk+(k+1)Ck+(k+2)Ck+······+(k+n)Ck=(n+k+1)C(k+1)
nC1+2*nC2+3*nC3+······n*nCn=(1/2)*(cC0+cC1+······+nCn)
C(r,n):r是上标、n是下标.
【1】
C(k,k)+C(k,k+1)+C(k,k+2)+…+C(k,k+n)
=C(k+1,k+1)+C(k,k+1)+C(k,k+2)+…+C(k,k+n)
利用:C(k+1,n+1)+C(k,n+1)=C(k+1,n+2)
则:
原式=C(k+1,k+1)+C(k,k+1)+C(k,k+2)+…+C(k,k+n) 【前2个继续用公式】
=C(k+1,k+2)+C(k,k+2)+C(k,k+3)+…+C(k,k+n)
=C(k+1,k+3)+C(k,k+3)+…+C(k,k+n)
=…………
=C(k+1,n+k+1)
【2】
S=(1,n)+2C(2,n)+3C(3,n)+…+nC(n,n)
倒序,得:
S=nC(n,n)+(n-1)C(n-1,n)+…+2C(2,n)+C(1,n)
相加,得:[注意:需要错位,即:第一个等式中的第一个和第二个等式中的第二个配对,并注意到:C(k,n)=C(n-k,n)]
则:
2S=nC(n,n)+nC(1,n)+nC(2,n)+…+nC(n,n)
2S=nC(0,n)+nC(1,n)+nC(2,n)+…+nC(n,n)
2S=n×[C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+C(3,n)+…+C(n,n)]
2S=n×2^n
S=n×2^(n-1)
两道高中排列组合的等式证明题目.注释:为方便表示,如nCr表示n个元素中选r个的组合数 需证明以下两个等式:kCk+(k+1)Ck+(k+2)Ck+······+(k+n)Ck=(n+k+1)C(k+1)nC1+2*nC2+3*nC3+······n*nCn=(1/2)*(cC0+cC1+
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