学帮网设函数f(x)=(x+a)/(x+b)(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性请告诉我答案及解题过程!谢谢!怎么看出来函数在(-∞,-b]和[-b,+∞)上单调递减？不然怎么知道去什么范围里证？
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/14 01:48:18
设函数f(x)=(x+a)/(x+b)(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性
请告诉我答案及解题过程!谢谢!
怎么看出来函数在(-∞,-b]和[-b,+∞)上单调递减？不然怎么知道去什么范围里证？
首先,考虑常数化分子
f(x)=(x+a)/(x+b)
＝(x+b+a-b)/(x+b)
=1+ (a-b)/(x+b)
这是反比例型函数,
其次a-b>0
定义域x≠b
故在定义域的两个子区间上分别单减.
f(x)=(x+b+a-b)/(x+b)
=1+(a-b)/(x+b)
设任意x1,x2∈(-∞,-b] ,x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(a-b)/(x1+b)-(a-b)/(x2+b)
=(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b)
∵x1<-b x2<-b
∴x1+b<0 x2+b<0
∴f(x1)-f(x2...
全部展开
f(x)=(x+b+a-b)/(x+b)
=1+(a-b)/(x+b)
设任意x1,x2∈(-∞,-b] ,x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(a-b)/(x1+b)-(a-b)/(x2+b)
=(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b)
∵x1<-b x2<-b
∴x1+b<0 x2+b<0
∴f(x1)-f(x2)<0
同理
设任意x1,x2∈[-b,+∞) ,x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(a-b)/(x1+b)-(a-b)/(x2+b)
=(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b)
∵x1>-b x2>-b
∴x1+b>0 x2+b>0
∴f(x1)-f(x2)<0
综上所述，
函数在(-∞,-b]和[-b,+∞)上单调递减
∵x≠-b是定义域啊
收起
f(x)=(x+a)/(x+b)=1+(a-b)/(x+b)
a>b>0
所以单调递减