三角函数：已知cos（α-β/2)=1/9,sin(α/2-β）=2/3,0

三角函数：已知cos（α-β/2)=1/9,sin(α/2-β）=2/3,0

因为0

0<α<π，0<β<π/2，所以-π/4<α-β/2<π，-π/2<α/2-β<π/2，
0——》α-β/2>π/4，或α-β/2<-π/4，
——》π/4<α-β/2<π/2，
——》sin(α-β/2)=4v5/9，
sin(α/2-β)=2/3>0，
——》0<α/2-β<π/2，

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0<α<π，0<β<π/2，所以-π/4<α-β/2<π，-π/2<α/2-β<π/2，
0——》α-β/2>π/4，或α-β/2<-π/4，
——》π/4<α-β/2<π/2，
——》sin(α-β/2)=4v5/9，
sin(α/2-β)=2/3>0，
——》0<α/2-β<π/2，
——》cos(α/2-β)=v5/3
——》cos(α+β)/2=cos[(α-β/2)-(α/2-β)]
=cos(α-β/2)*cos(α/2-β)+sin(α-β/2)*sin(α/2-β)
=(1/9)*(v5/3)+(4v5/9)*(2/3)
=v5/3，
——》cos(α+β)=2cos^2[(α+β)/2]-1=2*(v5/3)^2-1=1/9。

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楼主的问题有问题啊！

单看楼主的问题：
已知：0＜α＜π，0＜β＜π/2
即：0＜α/2＜π/2，0＜β/2＜π/4
所以：-π/4＜α-β/2＜π
可见：α-β/2可能为第1、第2、第4象限角。
已知：cos(α-β/2)=1/9
所以：α-β/2可能为第1、第2象限角。
而：cos²(α-β/2)+sin&#...

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楼主的问题有问题啊！

单看楼主的问题：
已知：0＜α＜π，0＜β＜π/2
即：0＜α/2＜π/2，0＜β/2＜π/4
所以：-π/4＜α-β/2＜π
可见：α-β/2可能为第1、第2、第4象限角。
已知：cos(α-β/2)=1/9
所以：α-β/2可能为第1、第2象限角。
而：cos²(α-β/2)+sin²(α-β/2)=1
所以：(1/9)²+sin²(α-β/2)=1
有：sin²(α-β/2)=80/81
sin(α-β/2)=±4(√5)/9，（不是楼主给出的=±4√5）
不能排除sin(α-β/2)=-4(√5)/9的情况。

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-π/4<α-β/2<π
cos（α-β/2)=1/9 第四象限最小值 cos(-π/4)=(根号2)/2>1/9 第四象限内不能有值，α-β/2只能在第一象限
因此sin（α-β/2)是正值