已知函数f(x)=e^x/(x^2+0.75),证明对于任意的x1,x2属于[1/2,3/2],|f(x1)-f(x2)|
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/08 10:17:09
已知函数f(x)=e^x/(x^2+0.75),证明对于任意的x1,x2属于[1/2,3/2],|f(x1)-f(x2)|
f(x)=e^x/(x²+3/4)
f'(x)=[e^x(x²+3/4)-2xe^x]/(x²+3/4)
=e^x(x²-2x+3/4)/(x²+3/4)
=e^x(x-1/2)(x-3/2)/(x²+3/4)
∵[1/2,3/2]
∴(x-1/2)(x-3/2)≤0
即f'(x)≤0
∴f(x)在[1/2,3/2]上为减函数
∴f(x)min=f(1/2)=√e
f(x)max=f(3/2)=e^(3/2)/3=e√e/3
∵x1,x2属于[1/2,3/2]
|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=e√e/3-√e=(e-3)/3*√e
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