已知连续型随机变量X的概率密度函数f(x)是偶函数,F(x)是分布函数,求证任意c有 F(-C)=1/2-∫0到c f(x)dx

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/16 06:48:29

f(x)为密度函数,因此从负无穷到正无穷的积分为1,
而f(x)是偶函数,因此从负无穷到0的积分为1/2
F(-C)=∫负无穷到-c f(x)dx
=∫负无穷到0 f(x)dx +∫0到-c f(x)dx
=1/2+∫0到-c f(x)dx
对于积分 ∫0到-c f(x)dx 做变量替换 y=-x
∫0到-c f(x)dx=∫0到c f(-y)d(-y)=-∫0到c f(-y)dy
=-∫0到c f(y)dy (因为f为偶函数）
=-∫0到c f(x)dx （定积分与积分变量的记号无关）
综上即得待证结论.

F(-C)=∫(-∞,-C)f(x)dx
因为f(x)是偶函数，所以有
∫(-∞,0)f(x)dx=∫(0,+∞)f(x)dx=1/2
且∫(-C,0)f(x)dx=∫(0,C)f(x)dx
故F(-C)=1/2-∫(-C,0)f(x)dx=1/2-∫(0,C)f(x)dx

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