四面体ABCD各顶点到对面的距离分别为a,b,c,d体内一点到各个面的距离为a1,b1,c1,d1求证a1\a+b1\b+c1\c+d1\d=1

四面体ABCD各顶点到对面的距离分别为a,b,c,d体内一点到各个面的距离为a1,b1,c1,d1
求证a1\a+b1\b+c1\c+d1\d=1

令满足条件的四面体ABCD的内部一点为O,则：
V(A－BCD)＝（1/3）S(△BCD)×a、V(O－BCD)＝（1/3）S(△BCD)a1,
∴V(O－BCD)/V(A－BCD)=a1/a.······①
同理,有：
V(O－ACD)/V(B－ACD)＝b1/b,······②
V(O－ABD)/V(C－ABD)＝c1/c,······③
V(O－ABC)/V(D－ABC)＝d1/d.······④
显然有：
V(A－BCD)＝V(B－ACD)＝V(C－ABD)＝V(D－ABC),
V(O－BCD)＋V(O－ACD)＋V(O－ABD)＋V(O－ABC)＝V(A－BCD),
∴①＋②＋③＋④,得：a1/a＋b1/b＋c1/c＋d1/d＝1.