椭圆X^2/4+y^2=1在第一象限的部分曲线为C,动点p在C上,C在P处的切线与X,Y轴交与AB且OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.求/OM/的最小值

椭圆X^2/4+y^2=1在第一象限的部分曲线为C,动点p在C上,C在P处的切线与X,Y轴交与AB且OM=OA+OB.
求点M的轨迹方程.求/OM/的最小值

设P(2cosa,sina)(a为参数,0＜a＜π/2),则C在P处的切线为xcosa/2+ysina=1.
　　分别令x=0,y=0,得y=1/sina,x=2/cosa.即A(2/cosa,0),B(0,1/sina).
　　OM＝OA+OB＝(2/cosa,1/sina),所以M(2/cosa,1/sina)
　　令x=2/cosa,y=1/sina,则(2/x)²+(1/y)²＝1.
　　化简得到4/x²+1/y²＝1（x＞2,y＞1）,这就是点M的轨迹方程.
　　丨OM丨＝√(4/cos²a+1/sin²a).不妨设t=sin²a,则1-t=cos²a,
　　4/cos²a+1/sin²a＝4/(1-t)+1/t＝(1-t+t)[4/(1-t)+1/t]＝5+4(1-t)/t+t/(1-t)≥5+2√4=9.
　　所以丨OM丨≥3,即丨OM丨最小值为3.