已知数列{an}满足a1+3a2+(3^2)*a3+.+3^(n-1)*an=n/3.求{n/an}的前n项和n/an=n*3^n之后怎么用 错位相减?
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/28 16:21:55
已知数列{an}满足a1+3a2+(3^2)*a3+.+3^(n-1)*an=n/3.求{n/an}的前n项和
n/an=n*3^n
之后怎么用 错位相减?
Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n
3Sn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+...+n*3^(n+1)
Sn-3Sn=3+3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1)
-2Sn=3(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
Sn=(3/4)*(1-3^n)+(n/2)*3^(n+1)
n/an=n*3^n
约分:1/an=3^n
它的前n项和为An=3(3^n-1)/2 【等比数列前n项和:Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)】
n的前n项和为Nn=n(n+1)/2
所以{n/an}的前n项和Sn=An*Nn=[ 3n(n+1)]/[4(3^n-1)]
设Sn'=原式
Sn-1'=比原式少一项 (n>1)
两式作减法得: 3^(n-1)*an =n/3 -(n-1)/3=1/3
所以an=1/ 3^n (n=1也适用)
所以 n/an = n*3^n
此数列是"差*比"数列,用错位相减...
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设Sn'=原式
Sn-1'=比原式少一项 (n>1)
两式作减法得: 3^(n-1)*an =n/3 -(n-1)/3=1/3
所以an=1/ 3^n (n=1也适用)
所以 n/an = n*3^n
此数列是"差*比"数列,用错位相减法:即写出一列和sn=..., 再将此列和等式两边同乘3,错一位写.
两式作减法得出:sn- 3sn=(3+3²+3^3+3^4+...+3^n) -n*3^n+1 =....括号内是等比数列,可求和....
略.
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