已知抛物线y=ax^2+bx+3(a不等于0)经过A(3,0)B(4,1)两点,且与Y轴交予点C已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/28 22:06:07

已知抛物线y=ax^2+bx+3(a不等于0)经过A(3,0)B(4,1)两点,且与Y轴交予点C
已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC,E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标．
谢谢!

(1)将A（3,0）,B（4,1）两点坐标代入抛物线方程解得a=1/2 b=-5/2
抛物线方程为y=1/2x^2-5/2x+3
点C为其与y轴交点,横坐标为0,代入得c(0,3)
(2)kAB=(1-0)/(4-3)=1 要使△PAB是以AB为直角边的直角三角形
则AB垂直于PA 所以kPA=-1
直线PA方程为y=-x+3
再联立抛物线方程,解得x=0或x=3(舍)
所以x=0代入抛物线,知P点即c点
P（0,3)
（3）由（1）知直线AB、AC相互垂直,即角EAF=90度
所以该圆必是以EF为直径的圆
要使△OEF的面积取得最小值,综合题意则需EF最短
又圆过O、A 所以当圆以OA为直径时使△OEF的面积取得最小值
圆心（3/2,0） 半径r=3/2
圆方程为(x-3/2)^2+y^2=(3/2)^2
将圆方程与直线PA方程y=-x+3联立解得
x=3/2 或x=3（舍）
将x=3/2代入直线PA方程解=得y=3/2
E(3/2,3/2）
（不谢哈,以后大家相互帮助,共同进步!）

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