已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1

已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1写出具体类似特性的性质,并加以证明.

相似地,对双曲线有：
若M,N分别是双曲线C’左右支上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明如下：
设M（X1,Y1）则N为（-X1,-Y1）,设P（X,Y）,则
kPM=（Y-Y1）÷（X-X1）,kPN=（Y+Y1）÷（X+X1）则
kPM×kPN=（Y^2-Y1^2）÷（X^2-X1^2）
∵MNP三点均在曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上
∴Y^2=（X^2-a^2）b^2／a^2,
Y1^2=（X1^2-a^2）b^2／a^2
则Y^2-Y1^2=（X^2-X1^2）b^2／a^2
∴kPM×kPN=（Y^2-Y1^2）÷（X^2-X1^2）
=（X^2-X1^2）b^2／a^2÷（X^2-X1^2）
=b^2／a^2 为定值.