已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/15 18:24:59
已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
∵当x∈【0,π/2】时,g(x)≥f(x)恒成立
∴g(x)min≥f(x)max
g‘(x)=cosx
∵g‘(x)=cosx≥0在x∈【0,π/2】恒成立
∴g(x)=sinx在x∈【0,π/2】单调递增
∴g(x)min=g(0)=0
f‘(x)=1-3ax²,x∈【0,π/2】
∵Δ=0-4*(-3a)=12a>0
∴令f‘(x)=0,解得x=√1/3a或x=-√1/3a(舍)
1°当x=√1/3a∈【0,π/2】即a≥4/3π²时,
f(x)在x∈【0,√1/3a】单调递增,在x∈【√1/3a,π/2】单调递减
∴f(x)max=f(√1/3a)=-2/3√1/3a≤0恒成立
2°当x=√1/3a>π/2即a<4/3π²时,
f(x)在x∈【0,π/2】单调递增
∴f(x)max=f(π/2)=π/2-a*(π/2)³
∵f(x)max=π/2-a*(π/2)³≤0,∴a≥4/π²
∴4/π²≤a<4/3π²
综上所述,a∈【4/π²,+∞)
有不懂的地方可以再问,
令h(x)=g(x)-f(x)=sinx-x+ax^3;h(0)=0,只要h'(x)>=0即可,h'(x)=cosx-1+3ax^2,注意到h'(0)=0,所以只要h"(x)>=0即可,h"(x)=-sinx+6ax,h"(0)=0,只要h"'(x)>=0,h"'(x)=-cosx+6a>=0,a>=max{(cosx)/6}=1/6.
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已知函数f(x)=ax+㏑x(a
已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx
已知函数f(x)=x³+ax²,a
已知函数f(x)=x³+ax²,a
已知函数f(x)=x³+ax²,a
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